坐标变换

通常摄像机动画，模型动画中会使用旋转平移变换来完成坐标变换。这里使用基变换来完成通用的坐标系转换。

现要求得世界坐标$P_{world}$对应的代求坐标系$\Omega$下坐标$P_{\Omega}$，已知$\Omega$坐标轴向量分别为$\overset{\rightharpoonup}{X}, \overset{\rightharpoonup}{Y}, \overset{\rightharpoonup}{Z}$,坐标原点为$O$

$worldToObject$
\left[
\begin{matrix}
\overset{\rightharpoonup}{X}.x & \overset{\rightharpoonup}{Y}.x & \overset{\rightharpoonup}{Z}.x & O.x \
\overset{\rightharpoonup}{X}.x & \overset{\rightharpoonup}{Y}.y & \overset{\rightharpoonup}{Z}.y & O.y \\
\overset{\rightharpoonup}{X}.z & \overset{\rightharpoonup}{Y}.z & \overset{\rightharpoonup}{Z}.z & O.z \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{matrix}
\right]

即有$P_{\Omega}=worldToObject * P_{world}$.(该矩阵含义可展开其含义自明)

PBRT以及Atmos中关于相机各类坐标系的转换

PBRT中的NDC坐标系在Atmos中未使用，因为其本身在PBRT中并不直接体现

具体的转换管线流程如下，实现公式可由下图各自推导出来，不做赘述。

rasterPosition(imageX, imageY);

// raster to screen
screenPosition(rasterPosition.x - image->width / 2.0f, -rasterPosition.y + image->height / 2.0f);

// screen to camera
// 这里pbrt中使用投影矩阵的逆变换得到cameraPos，不过由于透视的特殊性，其方向向量是一致的。
cameraPosition.x = 2 * canvasSize.x * screenPosition.x / image->width;
cameraPosition.y = 2 * canvasSize.y * screenPosition.y / image->height;
cameraPosition.z = canvasDistance;

// camera to world
ray->direction = (cameraToWorld * cameraPosition).getNormalized();
ray->origin = cameraToWorld * zeroVector3;

之后可以用worldToCamera矩阵进行转换。

$worldToCamera$
\left[
\begin{matrix}
right.x & up.x & direction.x & origin.x \
right.x & up.y & direction.y & origin.y \\
right.z & up.z & direction.z & origin.z \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{matrix}
\right]