考研微分方程计算中，并未包含伯努利方程的要求，但一样可以通过变量代换实现求解。下题为一个经典的变量代换求解，但自己发现却可以使用更巧妙的办法解答，张宇解析中并没有提及，因此记录在此。

求 $xdy=(1+ylnx)ydx (x>0)$

---

变量代换:

$\Rightarrow$ $xy'=y+y^2lnx$

$\Rightarrow$ $\frac{x}{y^2}y'=\frac{1}{y}+lnx$

令t = $\frac{1}{y}$，那么$\frac{dt}{dx}=-\frac{1}{y^2}\frac{dy}{dx}$

$\Rightarrow$ $-x\frac{dt}{dx}=t+lnx$

凑出一阶线性微分方程形式

$\Rightarrow$ $\frac{dt}{dx}+\frac{1}{x}t=-\frac{lnx}{x}$

$\Rightarrow$ $t=e^{-\int{\frac{1}{x}dx}}(\int{e^{\int{\frac{1}{x}dx}}(-\frac{lnx}{x})dx}+C)$

$\Rightarrow$ $t=\frac{1}{x}(\int{x(-\frac{lnx}{x})dx}+C)=-\frac{1}{x}(xlnx-x+C)=\frac{1}{y}$

$\Rightarrow$ $x=xy-xylnx+Cy$

---

凑导数形式:

$\Rightarrow$ $xy'=y+lnxy^2$

$\Rightarrow$ $\frac{y-xy'}{y^2}=-lnx$

$\Rightarrow$ $(\frac{x}{y})'=-lnx$

$\Rightarrow$ $-\frac{x}{y}=xlnx-x+C$

$\Rightarrow$ $x=xy-xylnx+Cy$